Le triangle en maths
Le triangle, la première figure géométrique. Un triangle, trois points, trois côtés.
Ce qui est intéressant dans cette figure, c’est que chaque sommet est en lien avec les deux autres, avec tous les autres.
Quelques jolies formules a propos des triangles :
Aire d’un triangle : (base × hauteur)/2.
Formule d’Al-Kashi : c²=a²+b²-2abcos(α)
ce qui donne, dans le cas du triangle rectangle, le fameux Théorème de Pythagore:
ABC est un triangle rectangle si et seulement si c²=a²+b² 
Je ne me lasse pas de cette blague , trouvée dans la copie d’un élève :
Les triangles remarquables, ce sont les triangles qui ont des propriétés spéciales. On retrouve les triangles rectangles, les triangles isocèles (avec deux côtés égaux) et les triangles équilatéraux (avec trois côtés égaux). Un triangle rectangle peut être également un triangle isocèle, mais pas un triangle équilatéral ! (Pourquoi?)
Les triangles scalènes sont les triangles ayant trois côtés de longueur différentes. Un triangle rectangle peut-être un triangle scalène. Assez bizarrement, il est très difficile de dessiner à main lever un triangle scalène. Essayez de dessiner un triangle, sans vous forcer. Très souvent il est équilatéral, en général isocèle…
Les trois médianes (droites partant d’un sommet et rejoignant le milieu de l’autre côté) sont concourantes, c’est à dire se coupent toutes les trois au même point. C’est assez rare quand on prend trois droites non parallèles. Ce point s’appelle le centre de gravité du triangle. C’est le point d’équilibre.
Il y a encore plein de propriétés dans les triangles. c’est étonnant comment une figure aussi simple peut être aussi riche. Finalement, c’est la même chose dans la vie.
Le triangle dans la vie
Dans la vie, les triangles, c’est le début de la complexité et le début des histoires. Le triangle amoureux est un ressort narratif classique. C’est également un problème quand on a trois enfants, c’est toujours deux contre un (après ça peut tourner…)
Au niveau symbolique, le triangle est très riche. La sainte Trinité dans la religion chrétienne, l’étoile de David dans la religion juive (deux triangles inversés) 
le mythe Isis-Osiris-Horus dans l’Egypte antique, et dans la franc-maçonnerie, le compas, l’équerre (triangle rectangle) et le niveau (triangle isocèle)… 
Le triangle, indissociable du chiffre 3, qui évoque en vrac :
- le corps, l’âme, le coeur,
- la naissance, la vie, la mort
- les trois dimensions,
- le passé, le présent et le futur,
- …
Dans la littérature, le cinéma, on ne se lasse pas du triangle amoureux…
Dans la vie d’un couple, l’arrivée d’un enfant fait passer du « deux » au « trois », comme joliment illustré par cette photo
Même la nature s’y met!
Dans le domaine du développement personnel, il est souvent utilisé. L’intérêt du modèle en triangle est que chaque sommet est en lien avec les deux autres, et qu’on peut le parcourir dans les deux sens. Vous remarquerez que les triangles ici sont équilatéraux! En effet, chaque sommet a un rôle aussi important que les deux autres. Je vous présente trois triangles intéressant.
Le triangle dramatique ou triangle de Karpman
C’est le triangle Persécuteur-Sauveur-Victime. C’est la modélisation d’un jeu psychologique dans le quel on se précipite souvent, et dont on ressort meurtri.
Pour autant on recommence allègrement.
Par exemple, une amie se plaint à vous de son conjoint. Il la trompe (tiens un triangle amoureux ou …). Elle est malheureuse: c’est la Victime. Et le mari bien sûr c’est le Persécuteur.
Outrée, vous allez voir son mari pour lui dire votre façon de penser et lui demander de cesser cette relation extra-conjugale : vous êtes le Sauveur.
Voilà le triangle en place. maintenant, vous allez tourner dans les rôles et ne plus vous en sortir, ou alors par le KO d’un des personnages.
Plusieurs scénarios:
- Le mari s’effondre et se plaint de sa femme (échange Victime-Persécuteur), vous ne savez plus qui sauver.
- Le mari en parle à sa femme, elle se retourne contre vous et défend son mari en vous accusant (vous devenez victime, votre amie le persécuteur)
- Du point de vue de votre amie vous êtes Persecuteur, son mari Victime et elle Sauveur (de son mari)
- Le mari dit du mal de vous à sa femme, vous devenez Persécuteur (de votre amie) et le mari Sauveur
- etc.
Remarquez qu’en général cela finit mal pour celui qui rentre dans le triangle « en Sauveur », il finit souvent en « Victime », ou on l’accuse d’être le « Persécuteur ».
La tentation, surtout quand on a de l’empathie, ou simplement quand on aime quelqu’un, c’est de rentrer dans le triangle en Sauveur. Faites bien attention quand quelqu’un se plaint à vous, vous fait part d’une difficulté, relationnelle ou autre. Bien souvent, la personne a besoin d’écoute, pas d’être sauvée! Cela arrive très souvent avec ses enfants. On veut leur éviter des difficultés, les aider. En les « sauvant », on leur envoie surtout le message « tu n’es pas capable de te débrouiller tout seul », « je n’ai pas confiance en toi ». Le risque c’est qu’il se sente dévalorisé, et/ou qu’il se ferme et ne vous parle plus de ses difficultés.
Le triangle dramatique fait partie des concepts de l’analyse transactionnelle. Plus d’info ici.
Le triangle Pensées-Emotions-Comportements
Ce triangle modélise les influences de nos pensées, positives ou négatives, et nous donne des points d’entrée pour réguler et inverser le système quand il déraille.
Un exemple :
- Je pense que je suis « nulle en maths » et que je vais rater mon contrôle de maths.
- Je me stresse en y pensant, je ne dors pas. Le jour du contrôle mon cœur bat très vite, mes mains sont moites, mes yeux se brouillent, je suis incapable de penser.
- Je n’arrive pas à faire des exercices pour préparer mon contrôle, le jour du contrôle je n’écris rien.
Résultat j’ai une mauvaise note, et cela confirme que je suis « nulle » en maths, et ça repart…
Comment inverser le parcours du triangle ?
On peut le prendre par chaque sommet. Je peux changer mes pensées sur moi-même. Je peux réguler mes émotions, en faisant de la méditation par exemple. Mais, on peut aussi changer son comportement !
Ce qui donne ici :
Même si je suis nulle en maths et que je pense que je vais rater, je fais des exercices pour préparer mon contrôle. Le jour du contrôle, je décide de me concentrer sur un seul exercice. Je reçois ma note comme un encouragement. J’observe que j’ai réussi un peu, je ne suis donc pas « nulle ». Mes émotions se régulent, mon comportement change alors encore plus (je continue de faire les exercices et en plus je fais des respirations pour réguler mon stress, ou autre chose), etc.
C’est souvent difficile de changer ses pensées (les pensées sont dans l’avenir ou dans le passé), alors que le comportement est dans le présent, passe par le corps.
Le triangle Confiance-Estime-Réussite
Ce triangle montre une autre facette du processus en jeu.
J’ai une piètre estime de moi (je suis « nulle », en particulier « nulle en maths »). Je n’ai pas confiance dans mes capacités à résoudre cet exercice, les maths ce n’est pas pour moi. Devant ma copie, j’échoue lamentablement, ce qui renforce ma piètre estime.
J’entends souvent des lycéens dirent quand ils reçoivent le corrigé de leur devoir « en plus c’était facile j’aurais dû réussir », ce qui ne peut que détruire encore leur estime et leur confiance.
Comment inverser le processus ? À nouveau, par n’importe quel sommet. Souvent les professeurs notent sur les copies ou les bulletins, ou disent à leur élève « fais toi confiance ! ». Ok mais comment ?
Pour « se faire confiance », on peut « faire semblant », modifier son comportement, en utilisant le triangle précédent.
- Ok, je n’ai pas confiance, mais si j’avais confiance, ça se passerait comment ? Quelle serait mon attitude, mes gestes, mon comportement ? Je vais « jouer » à avoir confiance.
- Alors, mes pensées vont légèrement se modifier, car on peut expérimenter que si les pensées ont une influence sur le corps, l’inverse est également vrai. Je vais avoir des pensées plus positives, ce qui aura une influence sur mes émotions, etc.
Mais une autre méthode efficace est de rentrer dans le triangle par le sommet « Réussite », en observant ses réussites, dans n’importe quel domaine. En maths par exemple, il y a forcément un calcul que l’on sait faire. Une définition que l’on connaît, une formule qu’on a su appliquer. En observant et en chérissant ces réussites, en les transformant en confiance « je sais faire une addition sans machine », « je sais calculer les coordonnées d’un vecteur », etc., on augmente alors son estime. Ou même, ok je n’arrive pas (encore) à résoudre une équation du premier degré, par contre je fais des super gâteaux au chocolat, ou j’ai mis un panier de basket magnifique samedi en match.
J’ai une bonne estime de moi donc j’ai confiance en moi donc je réussis.
Conclusion, prêtez attention à vos réussites ! Félicitez-vous !
PS: Je remercie Eric Brison pour les discussions fructueuses autour de ces triangles.