Quand on apprend à compter à l’école, on est d’abord tout fier de compter jusqu’à 10, puis jusqu’à 100. On commence à apprendre les nombres de trois chiffres, et si on est courageux, on compte jusqu’à 1000, mais c’est un peu long quand même. On caresse néanmoins l’idée, qu’un jour, on arrivera au bout…
Puis, un jour, un grand, (le même qui nous a appris que le père Noël n’existait pas) nous lance, d’un air narquois: « d’abord ça ne s’arrête pas les nombres ».
Ca alors ! Un sentiment de doute nous assaille… »Non, ce n’est pas possible, il doit bien y avoir un bout… », puis, après enquête auprès de diverses personnes compétentes (les parents, le maître ou la maîtresse, les grands frères et sœurs ou les cousins), il faut bien se rendre à l’évidence : ça ne s’arrête pas !
Eh oui, il y a une infinité de nombres. Suivant les cas, un sentiment de vertige nous envahit, ou bien un sentiment de liberté, ou les deux. (Parfois un sentiment de désespoir?)
Voilà c’est fait, le premier contact avec l’infini.
Pour certains, ça n’ira pas plus loin. Mais pour d’autres, ce n’est que le début d’une grande aventure.
J’aimerais partager avec vous quelques trucs amusants sur l’infini.
Tout d’abord, le paradoxe des nombres pairs.
Si j’écris tous les nombres entiers à la file (bien sûr, il faut imaginer que l’on a une file « infinie ») :
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | … |
on remarque qu’un sur deux est pair. On peut donc dire qu’il y a deux fois plus de nombres que de nombres pairs.
Logique….
Mais si j’écris tous les nombres, et en dessous de chacun son double:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | … |
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | … |
on se rend compte qu’il y en a autant, puis qu’il est possible de les associer deux par deux.
Alors deux fois plus ou la même quantité ?
« Les deux mon général !», et c’est d’ailleurs exactement la définition de l’infini donnée par Georg Cantor, un des premiers mathématiciens à s’être sérieusement intéressé à l’infini, au début du XXème siècle. (La définition est: un ensemble X est infini s’il est en bijection avec une de ses sous-ensembles, autre que lui même.)
Il est à noter, qu’on a également autant de multiples de 3 que de nombres, autant de multiples de 4, autant de multiples de 5123476589, etc.
Je vais maintenant vous raconter l’histoire de l’hôtel de Hilbert.
Hilbert était un mathématicien très fort du début du XXème siècle, à peu près à la même époque que Cantor.
Il a également beaucoup réfléchi sur l’infini (peut-être à cause de son joli chapeau…)
Voilà l’histoire, sous forme d’énigme :
Imaginons que vous êtes gérant d’un bel hôtel, dans une montagne magnifique, avec une belle vue dégagée, sans limite. Votre hôtel a la particularité d’avoir un nombre infini de chambres. Elles sont numérotées dans l’ordre 1,2,3,4,….
La saison commence bien et l’hôtel est complet. Super.
Seulement, l’hôtel est un peu isolé, et c’est le seul en haut de la montagne. Il n’y a pas d’autre endroit pour dormir et la route est assez longue pour y arriver.
La nuit est tombée et un voyageur arrive, exténué (il est venu à pied).
« Une chambre par pitié… »
Comment allez-vous faire pour loger notre ami le voyageur, puisque l’hôtel est complet ?
Voilà :
Vous allez mettre les clients à contribution : vous allez demander à chaque client de changer de chambre : celui qui est dans la chambre numéro 1 ira dans la numéro 2, celui qui est dans la numéro 2 ira dans la chambre numéro 3, celui qui est dans la chambre numéro 3 ira dans la chambre numéro 4, et ainsi de suite. Pas trop compliqué de changer de chambre. Du coup, la chambre numéro 1 est libre, et vous pouvez y faire dormir le randonneur fatigué, et reconnaissant (c’est beau les maths quand même…).
Mais vous n’êtes pas au bout de vos peines !
Le lendemain, un car infini, transportant une infinité de voyageurs (pour les reconnaître facilement, ils ont chacun un numéro, 1, 2, 3, etc.) arrive. Tous ces clients s’extasient devant un si bel hôtel, un si bel endroit et veulent chacun une chambre.
Comment faire ?
Rien de plus simple…
Les clients installés vont à nouveau déménager : celui qui est dans la chambre numéro 1 va aller dans la chambre numéro 2, celui qui est dans la chambre numéro 2 va aller dans la chambre numéro 4, celui qui est dans la chambre numéro 3 va aller dans la chambre numéro 6, celui qui est dans la chambre numéro 4 va aller dans la chambre numéro 8, etc. Chacun va aller dans la chambre portant un numéro double de celle qu’il occupait. Un peu moins facile comme déménagement, mais ça se fait.
Du coup, toutes les chambres portant un numéro impair sont libres, et vous pouvez y caser tous vos nouveaux clients.
L’histoire ne s’arrête pas là ! Pour les curieux, je vous conseille le livre des paradoxes de Nicholas Falletta (éditions Belfond).
Dans son livre, Nicholas Falletta raconte aussi d’autres paradoxes. Vous pouvez en entendre quelques-uns ici, Olivier Saladin lit des extraits de ce livre sur France Culture.
Jusqu’à présent, je parle de l‘infini dénombrable. Un ensemble est dénombrable si on peut compter tous ces éléments (même si on ne s’arrête jamais).
Mais il existe d’autres sortes d‘infini! Par exemple, les nombres réels: il y en a un nombre infini, logique, puisqu’il y a au moins tous les nombres entiers. Mais on ne peut pas compter les nombres réels!
D’ailleurs, quel est le nombre réel qui vient après π?
Il n’y en a pas: en effet entre deux nombres réels aussi proches soient-ils, on peut toujours en trouver un autre.
On peut dire de manière imagée que l‘infini des nombres réels est plus grand que l’infini des nombres entiers!
Il y a d’ailleurs une infinité d’infinis….
La découverte de l’infini pendant mes cours de mathématiques m’a procuré une grande joie, comme celle ressentie les soirs d’été en contemplant un beau ciel étoilé : un immense sentiment de liberté, une fascination pour tous ces mondes inconnus !
J’espère vous l’avoir fait partager !