Calculer, c’est l’une des trois activités principales en maths, avec résoudre des problèmes et démontrer des théorèmes. (voir un de mes articles précédents)
Calculer c’est une activité technique, c’est un peu comme faire des gammes ou apprendre les verbes irréguliers en anglais, mais c’est également une activité très ludique….
Les petits enfants aiment calculer, aiment jouer avec les nombres. Certains adultes aussi. Il y en a certains qui ont d’ailleurs une véritable passion pour les chiffres, et qui voient instantannément le résultat des calculs dans leur tête. C’est le cas de Daniel Tammet par exemple, dont j’ai parlé dans un article précédent.
Voici comment il voit le résultat d’un calcul:
Sofia Kovalevskaïa quant à elle, avait sa chambre d’enfant entièrement tapissée de pages de calculs mathématiques, pages d’un cours de calcul intégral et différentiel d’Ostrogradski. Ce papier peint particulier n’est pas pour rein dans sa fascination pour les mathématiques. (Ça ressemblait peut-être à ces formules…ça change un peu des princesses et des grenouilles…)
Une très belle biographie de Sofia Kovalevskaïa écrite par Michèle Audin: 
On peut également effectuer une multiplication « à la japonaise », en traçant des traits et en comptant les intersections. Ou bien compter sur ses doigts et remarquer par exemple que dans la table de 9, la somme du nombre des unités et de celui des dizaines fait toujours 9…
On peut par exemple, en suivant les traces des pythagoriciens, chercher les « formes des nombres ». Il y a les nombres carrés, le nombres triangles… A partir de billes ou de jetons, on peut chercher à les mettre sous toutes formes de rectangles possibles, ce qui permet par exemple d’appréhender la multiplication.
(site multimagie)
Mais calculer ce n’est pas seulement faire des opérations sur des nombres entiers.
Il y a le calcul littéral, où au début on continue à faire les quatre opérations, en introduisant des lettres, et où d’autres transformations apparaissent : développer, factoriser, réduire, distribuer, réduire au même dénominateur…)
En plus des tables d’additions et de multiplications et des algorithmes de calcul de ces opérations, il y a d’autres règles de calcul. Règles qui s’énoncent avec des lettres, comme « a(b+c)=ab+ac ». Il y a aussi d’autres règles d’écritures, dans la règle précédente, le symbole « x » de la multiplication est omis. Il y a plusieurs façons de calculer. Le résultat d’un calcul n’est pas forcément un nombre, mais peut être une autre expression. Par exemple « factoriser 2x^2+3x », ce qui donne « x(2x+3) ».
Plus on avance dans la scolarité, plus calculer prend un sens varié. En fait, calculer cela veut surtout dire transformer. Et il y a de plus en plus de façons de transformer une expression, qui vont dépendre aussi de ce qu’on veut faire du calcul. Il est important d’identifier la règle que l’on va utiliser et surtout, dans quel but! On ne fait jamais un calcul « pour rien ».
Puis calculer devient de plus en plus varié. On peut calculer des sommes avec des symboles « ∑ », des intégrales « ∫ », dériver des fonctions, transformer des égalités, des inégalités, faire des opérations sur des limites, faire des développements limités, déterminer des équivalents, faire des calculs avec des matrices…
Pour cela, on a à notre disposition de plus en plus de règles, ainsi que des « tables » de manipulations élémentaires ». Par exemple, on sait dériver les fonctions usuelles, et on sait dériver une fonction résultant d’une opération sur d’autres fonctions. Pour cela, il faut pouvoir décomposer l’expression en « briques » de base, transformer chaque brique, puis recomposer l’expression.
Il faut donc reconnaître la structure des expressions. Par exemple, « 3×4+5×7 » est une somme, puisque l’opération qu’on fait en dernier est une addition, tandis que « 3× (4+7) » est un produit, puisque l’opération qu’on fait en dernier est une multiplication.
Il y a ce mouvement de « décomposition/recomposition ». Pour calculer « 3×4+5×7 », il faut décomposer en « 3×4 » et « 5×7 », effectuer chaque multiplication, 12 et 35, puis recomposer 12+35. A nouveau on décompose en « 2+5 » et « 1+3 »
Mais c’est déjà ce qui se passe quand on fait des additions à plusieurs chiffres. On décompose l’addition « 214+325 » en « 5+4, 2+1, 2+5 », qui sont « les briques de base », puis on recompose et on trouve « 739 ». (Bien sûr dans mon exemple il n’y a pas de retenue, il faut rajouter une règle en cas de retenue).
Ce mouvement de décomposition, transformation et recomposition, est déjà à l’œuvre dans les quatre opérations sur les entiers, et c’est toujours le même mouvement dans tous les calculs.
C’est pourquoi, faire les calculs à la machine ne permet pas d’acquérir ce mouvement, et on se retrouve plus tard avec d’énormes difficultés de calcul, calcul au sens précédent, transformation d’expressions, pour lesquels les machines ne sont pas d’un grand secours.