La beauté des formules de mathématiques 36

Publié le 29/03/2021

Personne ne conteste l’égalité 0!=1: n! désigne le produit de tous les entiers de 1 jusqu’à n, et donc 0! est le produit de… rien, c’est à dire l’élément neutre de la multiplication, à savoir 1. En revanche la valeur de 0^0 est moins claire, et plusieurs grands mathématiciens se sont disputés sur cette question: en effet il est clair que 0^n est le nombre qui équivaut à n multiplications par 0, donc 0; et tout aussi clair que m^0 revient à multiplier 0 fois par m, donc (comme 0!) à ne rien faire, c’est à dire multiplier par 1. C’est généralement cette valeur (1) qui est retenu, par cohérence notamment avec des univers algébriques (polynômes, composition de fonctions…). Méfiez-vous néanmoins de cette situation: quand m et n s’approchent tous deux simultanément de 0, m^n peut tendre vers… n’importe quoi !

Ainsi :

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