La beauté des formules de mathématiques 35

formule de maths et dessin

 

Il est possible d’attribuer des valeurs à certaines séries divergentes comme ∑ (-1)^n ou ∑ (-1)^n (n+1) de façon raisonnable. Mais ∑ n exagère. Et comment peut-on trouver une valeur négative, alors que tous les termes sont positifs ?
Pourtant on trouve cette valeur en physique des particules, avec une renormalisation (une opération qui consiste à bidouiller un résultat faux jusqu’à ce qu’il devienne vrai) et le même par des manipulations formelles (retrancher ∑ (-1)^n (n+1) pour se ramener à sa valeur). La raison profonde de cette cohérence entre des résultats mal fondés est que cette somme est le prolongement en -1 de la fonction zeta définie pour s>1 par ∑ 1/n^s. En l’étendant aux nombres complexes, on trouve une formule de symétrie qui relie notamment zeta(-1) à zeta(2) [dont la valeur est donnée ici]. Et on trouve effectivement… -1/12 !

Question: sauriez-vous trouver LA valeur « vraisemblable » de la somme des nombres de Fibonnaci, 1+1+2+3+5+8+13+21+… ?

formule de maths et dessin

Dessins d’Agnès Rigny, texte d’Emmanuel Amiot

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