Faire des économies

Ma fille m’a récemment fait part d’une méthode pour faire des économies, une résolution de premier janvier (mais on peut commencer quand on veut en fait).

La première semaine, on met 1 euro de côté, la deuxième semaine 2 euros, la troisième 3 euros et ainsi de suite pendant un an. Ce qui fait que la dernière semaine de l’année on met 52 euros de côté.

Combien a-t-on mis d’argent de côté en un an?

Fond photo créé par xb100 – fr.freepik.com</a>

Vous voyez certainement qu’il faut faire l’opération 1+2+3+4+5+….+50+51+52.

Mais ça va être long! Même si on le fait avec une machine à calculer, on risque de s’embrouiller, de se tromper en tapant les nombres, etc.

Heureusement , les maths sont là pour vous aider.

Le résultat se calcule en effectuant: 52 x 53 /2, ce qui fait 26 x 53, d’où 1378 euros!

Comment a-t-on fait?

C’est le petit Johann Gauss qui a trouvé cette méthode, ce à l’âge de 10 ans. Voici l’histoire.

Dans les années 1780, dans une école primaire de Brunswick en Allemagne, l’instituteur n’en peut plus. Les élèves sont partis pour un grand chahut !

Pour les calmer et avoir une bonne demi-heure de tranquillité, il leur donne un devoir à faire : trouver la somme des cent premiers entiers, autrement dit calculer 1+2+3+….+100.

Mais à peine deux minutes plus tard, Johann lève la main et donne la réponse : 5050.

L’instituteur est époustouflé ! C’est la bonne réponse. Lui-même n’aurait pas été aussi rapide. Comment a-t-il fait ?

Johann a remarqué qu’en écrivant deux fois la somme, une fois à l’endroit et exactement en dessous une fois à l’envers, en additionnant les nombres en colonne, on trouve toujours 101.

En calculant la somme de toutes les colonnes c’est-à-dire 100 x 101 puisqu’il y a 100 colonnes, on trouve le double du résultat.

La somme cherchée vaut donc : , c’est-à-dire 50 x 101, ce qui fait 5050.

Le petit Johann fera de brillantes études de mathématiques. On le surnommera plus tard « le Prince des mathématiciens ».

La formule qu’il a trouvé à l’âge de 10 ans permet de calculer la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique.

En écriture mathématique cela donne : Ce qui veut dire 1+2+3+4+5+…(etc)+…+(n-1)+n, ou « on fait la somme de tous les nombres en partant de 1, jusqu’à n », n pouvant prendre n’importe quelle valeur.
Si n=5, on calcule 1+2+3+4+5. Si n=18, on calcule 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18.

Ce calculateur astucieux est Johann Carl Friedrich Gauss, né en 1777 à Brunswick et mort en 1855 à Göttingen. On lui doit de nombreux théorèmes.

Qu’est-ce que cela donne dans le cas de ma fille? On applique cette formule en remplaçant n par 52 (donc n+1 =53).

Et si vous commencez le premier mai pour finir la dernière semaine de décembre? Il y aura donc 35 semaines. Cela vous fera (35 x 36)/2, soit 630 euros.

Il y a d’autres méthodes pour mettre de l’argent de côté. Vous pouvez doubler à chaque fois la somme que vous mettez de côté. Ce qui vous fera en gros 9 000 000 000 000 000 euros au bout de 52 semaines !

On en reparle dans un prochain article.

En attendant, qu’allez vous faire de toutes ces économies?

 

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