Les maths en carte mentale

Cours niveau prépa


Produit scalaire

  • C’est quoi :
    Permet de répondre à la question : « montrer que c’est un produit scalaire ». On y retrouve les produits scalaires usuels.
  • Propriétés :
    La fameuse inégalité de Cauchy-Schwarz ! C’est un outil pour démontrer des inégalités, même si le contexte de l’exercice n’est pas les espaces vectoriels euclidiens. Les identités remarquables ressemblent aux identités dans les réels ou les complexes… Cela simplifie la mémorisation. Important de penser à l’expression matricielle du produit scalaire !
  • L’orthogonalité de deux sous espaces vectoriels :
    Savoir monter que deux sous-espaces vectoriels sont orthogonaux. Si c’est le cas, ils sont en somme directe.
  • Projections :
    C’est un point important du programme ! Attention à la dernière expression, il faut absolument vérifier qu’on a une base orthonormale pour l’utiliser.
  • Orthonormalisation :
    Justement, comment on peut fabriquer une base orthonormale ? Le procédé d’orthonormalisation de Schmidt, en lien avec la projection orthogonale répond à cette question.

Produit matriciel

Faire attention aux tailles des matrices !

  • Formule générale :
    C’est une formule théorique qu’il faut connaître.
  • Ligne x colonne :
    Faire un produit matriciel concrètement revient à multiplier une ligne par une colonne. L’élément du produit à l’intersection de la ligne i et de la colonne j provient de la ligne i de A et de la colonne j de B. Un produit matriciel c’est très visuel.
  • Ligne ou colonne :
    En multipliant A par les colonnes de B, on obtient le produit, ou en multipliant chaque ligne de A par B.
  • Algèbre :
    Quand les matrices sont carrées, le produit est une loi interne.Il y a un élément neutre, la matrice identité. Attention, le produit n’est ni commutatif ni intègre. Il ne faut pas garder ses réflexes sur les produits de nombres réels. Les identités remarquables (binôme, A^n-B^n) sont valables si les matrices commutent ! A justifier à chaque fois.

Formules trigonométriques

  • Il y a trois formules de trigonométrie à savoir, les trois entourées en bleu. On retrouve toutes les autres à partir de ces trois-là, en connaissant également les propriétés de parité des fonctions sinus et cosinus, ainsi que la définition de la fonction tangente ! Il faut s’entraîner à les retrouver rapidement.

Séries numériques


Espaces vectoriels de référence


Intégrales généralisées


Asymptotes


Parallèle identité remarquables nombres et produit scalaire