Portrait d’amateur de maths avec équation-2

Portrait d’Emmanuel Amiot

 

Emmanuel Amiot

Emmanuel Amiot

Emmanuel a un air de baroudeur rêveur, aussi à l’aise dans les équations, la musique, le tango qu’il pratique avec passion que le chindaï, art martial énergétique interne non violent qu’il enseigne depuis des années. Il est également excellent skieur (il est adepte du snow pour être précis et il a eu la chance de pouvoir glisser en Alaska). Chaque fois qu’il s’intéresse à une discipline, il le fait à fond et passionnément. Ainsi, Il est d’un haut niveau en escalade et a pratiqué intensément le yoga pendant plus de vingt-cinq  ans. Il joue très bien du piano, et il donne parfois des concerts, et des « concert-férences », où il illustre des concepts mathématiques à l’aide de morceaux de piano (ou l’inverse ?)

Une concert-férence d’Emmanuel ici.

Bref, un être aux multiples talents. Il vit actuellement à Perpignan, où il enseigne les mathématiques en classes préparatoires, au lycée Arago.

J’ai connu Emmanuel il y a plus de 35 ans, en arrivant à l’Ecole Normale Supérieure de Saint-Cloud. Je me souviens surtout que lui et une petite bande de normaliens étaient des fans du « Rocky Horror Picture Show », film musical déjanté, devenu un film culte, qui passait tous les soirs dans une petite salle parisienne. Emmanuel et ses amis y allaient régulièrement, pour « jouer » le film sur la scène devant l’écran. Ils connaissaient par cœur toutes les répliques, les postures des acteurs, les chansons. C’était vraiment phénoménal….

On s’est perdu de vue après l’Ecole Normale, et retrouvé vingt ans plus tard, lors d’un congrès de « professeurs de classes préparatoires », à Toulouse.

Je me souviens d’un week-end passé vers Perpignan en famille (nos enfants ont le même âge et nos garçons le même prénom), où je lui avait apporté un livre que je trouvais très intéressant et drôle, Oncle Petros et la Conjecture de Goldbach , roman d’Apóstolos Doxiádis paru en 1992. Il l’a lu en une heure sur la plage pendant que les enfants jouaient. J’étais assez impressionnée.

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Emmanuel est né il y a cinquante-cinq ans (il me fait remarquer tout de suite que c’est une somme d’entiers consécutifs ; en effet 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55), en Provence, ce qui lui a donné le goût du Sud, dans lequel il vit depuis longtemps.

Il a rencontré très tôt deux disciplines extraordinaires, la musique et les mathématiques.

Les mathématiques à l’école primaire, où il a fait connaissance avec les nombres. Le piano à l’âge de cinq ans, mais, dit-il, « c’était plutôt des exercices ».  Il n’avait pas encore de « vision ». (Bon en même temps il n’avait que cinq ans…)

C’est quand il a eu l’agrégation (de mathématiques) et qu’il s’est posé des questions sur son avenir que là, il a découvert des rapports intéressants entre la musique et les mathématiques. Il a alors trouvé sa voie de recherche. Il est devenu « mathémusicien ».

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Quel souvenir mathématique t’a marqué à l’école primaire ?

Je me souviens m’être interrogé, ce qui me parait précoce avec du recul, quand notre institutrice avait expliqué le rapport constant de la circonférence du cercle au diamètre. Elle nous a dit que ce nombre s’appelait Pi et valait 22/7.  Elle a commencé à faire la division de 22 par 7 au tableau, et s’est arrêtée à 3,14. Or à l’époque, on n’avait pas de scrupule à faire des divisions longues en primaire. J’avais tiqué sur le fait qu’elle s’arrête là. J’avais en effet vu dans un livre les autres décimales de Pi, et j’avais constaté qu’en continuant la division, les autres décimales de 22/7 n’étaient pas bonnes.  (En effet 22/7=3,142857142…Pi=3,141592653…)

Mais j’avais une fois absolument inébranlable en la maîtresse, donc j’étais perturbé. J’étais pris entre la loyauté envers ma maîtresse et la connaissance que j’avais que Pi ce n’était pas 3,14. Ce n’était pas 22/7. Je me souviens d’avoir continué la division et froncé les sourcils. Honnêtement, je ne me souviens pas m’être interrogé sur le fait que la suite des décimales de 22/7 se répète… J’avais six ou sept ans, c’est un peu lointain. (En effet 22/7=3,142857142857142857142857…  La séquence 142857 se répète à l’infini.)

Comment s’est déroulée ta scolarité, au collège ?

J’aimais aller à l’école, j’étais un très très bon élève. On m’a fait sauter deux classes à l’école primaire. Ce qui m’a mis un peu en porte à faux par rapport à mes condisciples en arrivant au collège, parce que j’étais tout petit. En particulier je me suis fait harceler par ma voisine de table à la cantine, pendant deux ans.

En revanche j’étais très en avance en ce qui concerne les capacités intellectuelles. Je me suis fait accepter par les plus grands et plus forts que moi, en les aidant à faire leurs devoirs de maths. Les autres élèves me regardaient un peu comme un ovni, mais je me sentais rejeté plutôt à cause de la différence d’âge qu’à cause de mes goûts, mes lectures, atypiques. Pour le dire un peu crûment, les filles me regardaient comme un tout petit garçon, alors que je commençais confusément à m’y intéresser. C’était très frustrant. Il a fallu que je commence à avoir des cheveux gris pour que la situation s’inverse.

Sinon, sur le plan mathématique, je me souviens que c’était le début de la réforme des mathématiques, les « maths modernes ». Nos enseignants, qui dans cette génération étaient souvent des anciens instituteurs, promus en collège, où ils enseignaient un peu de tout, se sont retrouvés confronté à la théorie des ensembles, aux morphismes, à l’algèbre de Boole… Les pauvres, quelle aberration !

Moi j’ai trouvé ça parfaitement naturel, transparent et limpide. C’est là qu’une grosse différence s’est creusée avec les autres, parce qu’il y a très peu de gens qui trouvaient ça compréhensible, notamment parmi nos enseignants. A neuf ans, en sixième, je me suis souvent retrouvé à expliquer le cours et à donner les solutions des exercices alors que le professeur n’y arrivait pas. Je ne sais pas ce qu’il en pensait, j’avais neuf ans, j’étais complètement innocent ! Mais j’imagine que cela ne m’a pas rendu très populaire parmi mes condisciples. C’est étonnant ce phénomène de la compréhension.  Quand on comprend quelque chose, on le comprend, c’est limpide, c’est évident. On a du mal à réaliser que d’autres ne le comprennent pas. C’est en particulier une des difficultés de la pédagogie en mathématiques.

En tout cas cet enseignement de « maths modernes » m’a certainement donné le goût des mathématiques, car à l’école primaire on ne peut pas dire qu’on faisait des mathématiques, on apprenait les bases du calcul simplement.

Qu’as-tu pensé de l’enseignement des mathématiques au lycée ?

A l’époque on avait un enseignement de mathématiques considérable, dix heures par semaine en filière C, et on faisait des choses très fascinantes. Je me souviens que mon professeur de terminale, qui faisait peur à tout le monde, très sec, très exigeant, nous avait donné comme premier devoir la résolution de l’équation du troisième degré par la méthode de Cardan, où tout le monde s’était planté sauf moi. Il faut dire que je la connaissais déjà…. Je lisais beaucoup, j’avais lu ça dans une encyclopédie qui était chez nous. J’ai toujours lu énormément. Même maintenant, je suis toujours un peu désemparé si je n’ai pas un bouquin à la main.

La résolution de l’équation du troisième degré  cubic-equation

Tes parents étaient-ils des scientifiques, qu’ont-ils pensé de tes aptitudes mathématiques ?

Non, je suis le seul scientifique de la famille. Je viens d’une famille d’intellectuels, mes parents sont des agrégés, philosophie et lettres modernes. Ils ne m’ont peut-être pas compris, mais ils ont apprécié de pouvoir discuter avec moi. Mon père notamment, pouvait m’interroger sur les développements de la science contemporaine. Pour lui, un philosophe, s’il veut pouvoir penser le monde, doit comprendre les enjeux scientifiques. Il y en a très peu qui sont capables de les comprendre. Depuis les années 45-50, les développements en mathématiques sont tellement complexes que les philosophes sont complètement largués. Donc mon père était content de m’avoir comme interlocuteur, et il l’est toujours.

Pourquoi as-tu choisi d’étudier les mathématiques ?

En fait je n’envisageais pas de faire une carrière scientifique. Mais à l’époque, les mathématiques étaient la discipline de l’excellence, et comme j’étais très bon en mathématiques, il était tout à fait naturel que j’aille en classe préparatoire scientifique. Ce n’était pas vraiment un choix positif, j’ai suivi ce que le système m’a proposé. Déjà qu’à dix-huit ans c’est difficile de savoir ce qu’on veut faire, à seize c’est encore pire. Les mathématiques ça m’allait bien, parce que c’était facile. Mais j’aimais tout. Je suis donc allé en prépa à Nice, où j’habitais à l’époque. On découvrait des univers complètement différents en classe prépa par rapport à ce qu’on voit au lycée. Toujours maintenant d’ailleurs. J’ai trouvé ça complètement fascinant. Il y avait des tas de choses nouvelles, de la topologie générale, des espaces de fonctions, etc. Il y avait néanmoins un poids de travail considérable qui ne permettait pas de prendre du recul sur ce qu’on était en train de faire.

Tu continuais la musique en parallèle ?

J’ai eu un choix vraiment douloureux à faire. Je suis rentré en prépa l’année où je devais préparer le prix de fin d’étude du conservatoire, ce que je n’ai pas pu faire. Je le regrette encore aujourd’hui d’ailleurs. Je continuais quand même à faire du piano et à voir mon professeur, mais je n’ai pas pu travailler suffisamment pour préparer cet examen. Après j’ai quitté Nice, je suis parti à Paris, et j’ai laissé tomber. J’aurais sans doute pu m’inscrire à Paris et préparer ce prix, mais j’ai préféré faire la java, vivre la joyeuse vie d’étudiant parisien.

Tu étais donc à l’Ecole Normale et tu as passé l’agrégation.

A l’époque, on était obligé de passer l’agrégation, on n’avait pas tellement le choix. (Ce qui n’est plus le cas pour les élèves des Ecoles Normales Supérieures actuellement).

Pour l’agrégation j’ai quand même dû regarder tout ça d’un peu plus près.

Tu t’es mis à bosser c’est ça que tu veux dire ?

Je n’irai pas jusque-là, mais il y a un peu de ça quand même. Je me suis aperçu qu’il y avait un certain nombre de brèches à colmater. C’est quelque chose qui m’a beaucoup servi dans ma troisième ou quatrième existence après l’agrégation. Parce que c’est un stade où, contrairement aux diplômes de maitrise ou de DEA à l’époque (M1-M2 actuels), on acquiert une culture très large, on a une vision quasiment exhaustive des mathématiques. Le programme de l’agrégation est une espèce de réunion relativement cohérente de tous les programmes de licences possibles. Ça m’a donné des tas de connaissances relativement correctes sur des tas de domaines des mathématiques. Ça a un côté un peu humaniste, au sens de la Renaissance de Pic de la Mirandole. C’est impossible à notre époque d’avoir une connaissance exhaustive de tous les domaines des mathématiques. Hilbert et Poincaré étaient les deux derniers géants capables d’embrasser toutes les connaissances mathématiques de leur époque. Quand on prépare l’agrégation, on ne comprend pas tout, mais on comprend pas mal de choses sur à peu près toute l’étendue des mathématiques. Et ça c’est très précieux pour pouvoir penser à appliquer une théorie à un problème qui se pose dans le champ d’une autre.

Les derniers géants, Henri Poincaré et David Hilbert:

poincarre

 

 

 

 

 

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Qu’as-tu fait après avoir obtenu l’agrégation ?

Je me suis trouvé désemparé, parce que je me suis demandé ce que j’allais faire de cette agrégation, parce que mes études allaient bientôt se terminer, et qu’il allait falloir que j’arrête de faire la java et que je trouve un boulot. Il me restait quand même une dernière année d’école, et la chose naturelle était de continuer des études de ce qu’on appelait 3ème cycle à l’époque, ce que j’ai commencé à faire. Mon sujet d’étude étaient les groupes et algèbres de Lie. C’était un cours tout à fait passionnant à l’Université de Jussieu. Mais, je me suis aperçu au moment de passer les examens que finalement, la passion avait disparu. Je n’avais pas envie de faire une carrière comme ça, où je ferais une thèse en améliorant les hypothèses du lemme de machin puis j’intègrerais un laboratoire où je ferais la même chose, suivre les directives du patron et signer en dernier un article qui se noierait dans la masse des publications. Je pense qu’il y avait de l’orgueil à cette époque, mais je me suis dit que si je continuais à faire ce genre de mathématiques, disons conventionnelles, dans des domaines connus, je serais un honnête pratiquant qui verserait une goutte d’eau dans la mer, et ça ne serait pas très saillant comme action. Je pense que je voulais être Euler ou rien… Or je n’étais pas Euler, je ne le suis toujours pas d’ailleurs.

Je n’ai carrément pas passé l’examen. Mais c’est certainement un coup du destin, car j’ai découvert après qu’il y avait un enseignement à la faculté de Vincennes qui s’intitulait « algorithmique et structures musicales ». Cet enseignement était dispensé par un compositeur du nom d’André Riotte à qui je dois un changement de carrière et d’orientation. Je suis allé le voir et on s’est entendu comme larrons en foire. Il faisait une structuration algébrique de la connaissance musicale et j’ai découvert que c’était ça que j’avais envie de faire. J’ai eu une illumination, j’avais trouvé ma place dans ce monde.

André Riotte

André Riotte

Ça a été un tournant. Je buvais tout ce qu’il me disait comme du petit lait.  Il était ingénieur de formation, il connaissait des mathématiques mais pas de manière aussi pointue que moi. Je l’aidais à faire ses cours, il en était très content. Il a ensuite fondé un groupe de recherche avec certains de ses anciens élèves, dont moi. Ce groupe a intégré l’IRCAM à Paris, à côté de Beaubourg et on y faisait des choses sur la structuration des espaces, des hauteurs. Ces choses se faisaient déjà aux Etats-Unis sous l’égide de gens comme John Rahn, Robert Morris, mais on ne le savait pas. A l’époque internet n’existait pas et les communications n’étaient pas si faciles. On se délectait avec ces concepts d’une haute abstraction, jusqu’à ce qu’on se fasse virer de l’IRCAM, parce que ce qui intéressait Pierre Boulez à l’époque c’était de faire de la synthèse musicale, du son qui sort des hauts parleurs, et pas des groupes qui agissent sur des ensembles…

Des groupes mathématiques tu veux dire, parce que la musique c’est aussi des groupes de personnes et des ensembles musicaux…

Oui. En fait on était des groupes de personnes qui agissaient sur des groupes mathématiques qui agissaient sur des ensembles d’objets mathématiques….

Après nos destins ont été assez divers. J’ai dû émigrer dans le département du Nord pour prendre mon premier poste d’enseignant, en collège à Maubeuge.

Ce n’était pas envisageable à l’époque de faire carrière dans ce domaine, maths et musique ?

C’est ça, et ça ne l’est toujours pas d’ailleurs. J’ai même dû mettre un bémol à cette activité. Je suis parti au Maroc pendant 5 ans (pour enseigner en prépa) et j’ai un peu décroché.

J’ai repris à l’occasion d’un grand colloque en 1999 à l’IRCAM, organisé en l’honneur de mon mentor, André Riotte, et là j’ai rencontré des gens jeunes, d’une autre génération, qui exploraient des champs nouveaux, j’ai trouvé ça assez rigolo. Je suis allé à un séminaire de recherche, le séminaire Diderot, où on discutait de pavages mosaïque d’un point de vue mathématique et géométrique. Mais il s’agissait de canons rythmiques et ça posait des problèmes. Un compositeur avait proposé une conjecture qu’il avait vérifiée sur un certain nombre d’exemples avec des outils informatiques, j’ai trouvé ça assez fascinant, et j’ai écrit un petit papier dessus pour le séminaire, réfléchi, réfléchi, et en fait mon premier résultat, mon premier théorème « mathémusical » a été la résolution de cette conjecture en 2001. Résolution qui faisait appel, et c’est là qu’avoir passé l’agrégation c’était précieux, à des outils mathématiques complètement extra-terrestres par rapport au problème posé. C’est à ce moment-là qu’avoir une large étendue de connaissances m’a été indispensable.

Tu dis que ça faisait appel à des outils extra-terrestres, comment toi tu as eu l’idée d’utiliser ces outils ?

Alors là c’est le grand mystère de l’intuition mathématique.

Est-ce que tu te rappelles du jour ? C’est arrivé brutalement ?

Oui, je me rappelle du jour. Il faut aussi savoir que le problème m’occupait l’esprit continuellement jour et nuit depuis des mois. J’en rêvais la nuit. Ça m’est arrivé d’ailleurs de rêver d’une solution à un problème mathématique. Mais là, c’était en plein jour, je me baladais à côté de chez moi, sur la plage, entre Canet et Saint-Cyprien, une grande plage de sable fin avec les montagnes au fond, superbe. Mais j’espère qu’il n’y avait pas trop de témoins, parce que je marchais un peu comme un zombie, pensif, et tout d’un coup, j’ai réalisé effectivement…  Je vais être obligé d’être un peu technique… Cette conjecture sur les pavages pouvait s’exprimer avec une relation entre polynômes et je me suis aperçu qu’on pouvait l’exprimer assez simplement grâce à l’automorphisme de Frobenius quand on regardait avec des coefficients dans des corps finis. La conjecture c’était que tous les canons rythmiques qu’on obtenait par ce procédé avaient une longueur qui était un multiple de 15. Ce qui correspondait à la taille du corps fini. En fait c’est parce que 15=16-1…

Enfin, c’est vraiment un truc qui m’est arrivé d’une autre planète et qui m’est tombé dessus comme un météore, sur la plage de Canet.

La révélation mathématique, entre Canet et Saint-Cyprien

La révélation mathématique, entre Canet et Saint-Cyprien

Le travail s’est fait inconsciemment en fait, et s’est révélé sur la plage de Canet.

Tout à fait. J’ai un peu l’impression qu’il y a quelque chose qui moulinait dans ma cervelle et que finalement il y a eu une espèce de pattern-matching, (polynômes, 15, corps finis…), les choses se sont alignées, les astres se sont mis en conjonction et la lumière est passée. C’est comme dans un film d’Indiana Jones, où le héros doit aligner toutes les pierres dans les vieux temples, le jour du solstice pour que le rayon de lumière puisse passer et là….

Là, c’était l’extase.

Ah oui ! Je me suis arrêté de marcher et ma mâchoire est tombée sur le sable ! C’était un eurêka, oui tout à fait.

Actuellement tu continues ton travail de professeur en classe préparatoire et de manière intensive ton travail de chercheur en « mathémusique ».

Intensive alors en fait, c’est plus compliqué. Il y a une bonne partie de l’année où je n’ai pas énormément de loisirs pour me concentrer sur mon activité de chercheur, mais bon j’essaye quand même, mais il y a aussi des moments où je suis moins créatif. Cet été j’avais des loisirs, mais je n’ai pas vraiment commencé à rédiger mes articles que pourtant j’ai à peu près dans la tête. J’ai les idées, je sais ce que je veux dire, mais bon.

Justement, peut-être que ce qui t’intéresse c’est de trouver les idées, après la mise en forme c’est moins drôle.

Oui ça c’est vrai. C’est le problème de l’activité de chercheur en général. La partie publication, mise en forme, se plier au moule et aux normes, est assez fastidieuse, ennuyeuse pour rester poli.

Cela fait deux fois que tu dis ça, c’est amusant. Tu es vraiment un électron libre, tu n’aimes pas les contraintes, les règles.

Oui.

Ça peut paraitre paradoxal, parce que en mathématiques il y a plein de règles justement. Comment concilies-tu ton désir de liberté avec ton activité mathématique ? En mathématiques, on ne fait pas ce que l’on veut. On découvre les choses. Tu ne te sens pas enfermé ?

L’exemple que je donnais est tout à fait typique. Les règles, elles sont à l’intérieur. Comme dans une voiture, tu as des contraintes, des rouages qui doivent avoir une certaine taille pour que ça tourne, que ça ne casse pas. Mais pour trouver un résultat, et je poursuivrais la métaphore avec la voiture, on peut la conduire où on veut, l’amener dans des contrées imprévues. Parfois ça ne donne rien, mais par exemple, dans le cas de cette conjecture, je l’ai résolue en la conduisant dans une planète franchement éloignée, avec des objets qui n’avaient rien à voir avec cette question-là.

Donc ta liberté elle est dans les continents mathématiques que tu vas explorer, les liens que tu vas faire.

Oui tout à fait. On est parfaitement libre d’explorer, d’amener le problème sur un terrain qui ne semblerait pas pertinent mais qui en fait va donner la solution. C’est ce qui se passe dans la recherche de très haut niveau. On essaye de construire des ponts entre des domaines parfaitement éloignés, sauf qu’en fait ils ne le sont pas. Et ça c’est un grand mystère philosophique. On découvre des ponts entre des champs de connaissances qui ont été conçus tout à fait indépendamment.

Revenons à toi. Les mathématiques dans ta vie quotidienne, comment ça se passe ?

Je ne parlerais pas trop des maths que j’enseigne, parce que, bon, ça peut donner du travail, mais, sans dire que ce n’est pas des mathématiques, pour moi ce sont des choses qui sont déjà connues et ce n’est pas passionnant. Disons que les mathématiques avec un grand M ça va être celles que je fais en tant que chercheur, et ça, c’est par exemple un problème qui me trotte dans la tête, qui peut trotter pendant des jours et des mois, voire des années. Soit j’y pense intensément parce que je veux avancer dessus, soit au petit déjeuner ou parce qu’il y a un rayon de soleil qui rebondit sur une fenêtre et ça me fait penser à quelque chose, je vais -parfois- avoir des idées. C’est quelque chose qui se produit à l’intérieur de moi, de manière incontrôlée.

Tu es habité par les mathématiques ?

Habité, ça connote une permanence, non je dirais plutôt visité parfois. Si je joue au beach volley ou si je joue de la musique, je ne pense pas aux mathématiques. De temps en temps j’ai des pensées mathématiques qui passent, comme des fantômes, ou des possessions démoniaques.

Est-ce que le fait d’avoir fait beaucoup de mathématiques influence ta façon de penser à d’autres types de problèmes, de la vie quotidienne par exemple ?

Oui certainement. Je peux être carrément mal à l’aise de voir des approches qui me paraissent complètement illogiques à des problèmes quotidiens. Par exemple, la façon de ranger le lave-vaisselle, où il y a des manières logiques et efficaces de le ranger qui ne coûtent pas plus cher du point de vue de l’action et qui permettent de minimiser les efforts. C’est vrai que j’applique plus ou moins inconsciemment des algorithmes de minimisation, peut-être pas des gradients conjugués, mais des écritures d’inégalités. Tout cela se fait dans la tête facilement parce que ce n’est pas très compliqué. Et pour moi c’est évident qu’il faut mettre les couteaux là et les cuillères à côté.

Et les maths, elles disent quoi pour vider le lave-vaisselle?

Et les maths, elles disent quoi pour vider le lave-vaisselle?

Parce que pour toi remplir la machine c’est un problème de mathématiques. Tout le monde ne le voit pas comme ça.

Non seulement je le vois comme ça, mais je vois la solution, et j’ai beaucoup de mal à réaliser que d’autres ne vont pas voir la solution comme ça. Il ne s’agit pas du dernier théorème de Fermat non plus. Ce qui se passe et qui fait ma cécité sur le fait que ce n’est pas évident pour l’autre, c’est que je ne vois pas les étapes du raisonnement. Je n’ai pas le problème qui se pose en disant « considérons un lave-vaisselle LV, etc. ». Du coup comme toutes ces étapes sont sautées et que j’ai brutalement la solution, j’ai une vérité, poum, et je suis aveugle au fait qu’il y a un problème à poser et à réfléchir à une solution. Pour d’autres ce n’est pas évident d’arriver à ça spontanément. Alors que si c’était un problème de mathématiques posé sur le papier, même si je voyais la solution en lisant le papier, je réaliserais que pour d’autres ce n’est pas immédiat. Que c’est un problème, que ça nécessite une médiation, du temps de recherche etc.

Qu’est-ce que tu répondrais à quelqu’un qui n’aime pas les mathématiques, que ça ennuie de faire des mathématiques ?

Je ne me sens pas tellement tenu de défendre la discipline, d’être un porte-étendard de la beauté des mathématiques. Mais si j’ai envie de faire changer un peu d’avis mon interlocuteur, ou en tout cas de lui faire voir qu’il y a d’autres points de vue possibles, je lui raconterais des épiphanies comme celle que j’ai pu raconter tout à l’heure, où il y a des moments de révélations, d’illuminations et des choses d’une grande beauté qui se passent. Apprendre des recettes de manière scolaire, devoir les appliquer sans les comprendre, ce n’est sans doute pas exaltant, mais il y a autre chose. Les mathématiques c’est une activité créatrice qui peut apporter de la joie. Je le montrerais simplement en racontant ma propre expérience.

C’est quoi les mathématiques pour toi alors ? Est-ce lié à la beauté ? Tu en parlé à plusieurs reprises.

Ça c’est la question super banco hein… C’est vrai que ça ne m’est pas arrivé très souvent d’avoir cette espèce de fulgurance, de voir apparaitre une propriété qui n’avait jamais été vue avant. J’ai la chance que ça me soit arrivé plusieurs fois. Mais même une seule, c’est déjà un privilège je pense.

C’est un privilège aussi que j’ai eu parce que je me suis intéressé à un domaine où il y avait beaucoup de choses nouvelles à explorer. Je n’aurais pas découvert des choses d’une telle originalité dans des domaines déjà bien parcourus. Je ne suis pas assez créatif pour ça. Des moments comme ça, c’est vrai que ça mérite des années d’études et d’efforts, juste pour être vécus. Mais comme de toute façon on ne peut pas compter dessus, il y a déjà le simple fait de se poser des questions, d’entrer dans cette perspective où on va poser un regard, disons un regard analytique, ou un regard de géomètre au sens du 17ème siècle, sur un problème, c’est un peu une attitude philosophique, ou une distanciation parce qu’on va un peu disséquer le problème, en posant les éléments les uns bien à côté des autres, en connaissant le type de relations qu’ils peuvent avoir, ça c’est l’opération de modélisation, et après on va pouvoir calculer, pas forcément avec des nombres, et on va pouvoir peut-être arriver à une solution. On se donne une perspective sur un problème, qui permet tout en s’en éloignant de mieux rentrer dedans. C’est très différent que d’être investi dans le problème, d’être empêtré dedans et de ne pas pouvoir en sortir. Ce qui est le cas en général quand on a un problème.

Tu dirais que les mathématiques, ou le langage mathématiques ça te permet de prendre de la distance par rapport à un problème et du coup de trouver une solution ?

Oui, mais c’est prendre une distance qui ne nous éloigne pas en fait. C’est prendre un regard. Une perspective.

Pour toi les mathématiques c’est un regard.

Oui, c’est une jolie formule.

A propos de formule, laquelle  apprécies-tu particulièrement ?

C’est très difficile de répondre à cette question, il y en a tellement.  Il y a la formule célèbre dont Gauss disait que c’était la plus belle, .

Je la trouve jolie, mais ce n’est pas forcément une formule qui nous révèle quelque chose sur le monde et sur la façon dont il fonctionne. Quand on commence à savoir des choses sur la géométrie algébrique et tout ça, le rôle de l’exponentielle et de π apparaît naturellement. C’était dans les cartes d’une certaine façon.

Je pensais plutôt, à une propriété plus compliquée mais que je vais essayer de rendre simple, qui est en lien avec ta formulation « les mathématiques c’est un regard » justement. C’est le lemme de Yoneda , qui est un lemme relativement facile de la théorie des catégories. La théorie des catégories en revanche c’est plus compliqué… C’est justement quelque chose sur la façon dont on peut regarder une théorie à partir d’une autre. Par exemple on peut regarder des groupes algébriques simplement comme des ensembles. On va oublier la complexité, et on « descend » de la catégorie des groupes à celles des ensembles qui est quelque chose de beaucoup plus simple. Et on peut faire ça pour n’importe quelle catégorie, et redescendre à ras de terre et ne garder que le squelette. Le lemme de Yoneda dit que, si on fait ça de toutes les façons possibles, sous tous les angles possibles, de manière la plus banale possible, qu’on la projette avec des projecteurs braqués dans toutes les directions, et qu’on regarde juste l’ombre projetée, et bien c’est équivalent à la connaissance complète de la catégorie de départ.

En effet, c’est profond !

Oui et c’est complètement philosophique. Les gens qui connaissent bien la théorie des catégories, ce qui est loin d’être mon cas, la considèrent très souvent comme quelque chose de fondamental. J’aime bien l’idée philosophique que, plus on change de regard sur un problème, plus on s’approche de l’avoir complètement élucidé. Parce que ça, ça correspond complètement à ce que j’ai vécu. Où en changeant de point de vue, en allant éclairer par exemple une histoire de mosaïques par des polynômes à coefficient dans un corps fini, pile de la bonne taille etc. on trouve une solution. En allant chercher un projecteur que l’on calibre exactement, comme dans un studio de photographe, que l’on met exactement au bon endroit pour que l’ombre du nez ait exactement la bonne longueur par rapport au duvet de la joue et là, la photo est superbe. Ça demande évidemment des réglages subtils, qui vont devoir beaucoup à l’intuition, au tâtonnement, il y a toute cette dimension qui est très inexacte et très artistique dans les mathématiques et qui est inhérente à l’utilisation pratique du lemme de Yoneda pour résoudre certains problèmes.

Cela me fait penser que l’on pourrait l’appliquer à l’être humain. On connait rarement toutes les facettes d’un être humain. J’avais eu un projet littéraire un moment qui était d’écrire l’histoire d’une personne en la faisant raconter par toutes les personnes qu’elle connait, qu’elle rencontre. Je me dis qu’on connaîtrait parfaitement une personne si on savait comment elle est en tant que mari, qu’amant, que parent, etc.

C’est exactement le lemme de Yoneda. Ça me fait penser au Quatuor d’Alexandrie de Lawrence Durell qui est une sombre histoire d’amour et d’espionnage, racontée par chacun des quatre protagonistes, qui voient des choses totalement différentes les uns des autres.

As-tu un mathématicien fétiche ?

Ah il y en a beaucoup… Euler pour son foisonnement d’idées…

Tu as dit tout à l’heure que tu voulais être Euler ou rien.

Oui, mais je pense aussi à Yukata Taniyama dont la conjecture a sous-tendu toutes les recherches en théorie des nombres depuis plus d’un demi-siècle et qui s’est suicidé quelques années après. Je ne dis pas qu’il y a un rapport, mais là aussi c’est un esprit complètement pointu, insensé, qui fait des ponts entre des domaines des mathématiques qui n’avaient a priori rien à voir.

Yukata Taniyama

Yukata Taniyama

Je pense aussi à Bertrand Russel qui s’est posé des questions sur les fondements des mathématiques, du raisonnement, de la pensée, leur articulation au monde, et qui est resté sain d’esprit, investi dans la société, qui a fait tout un travail pour la paix dans le monde.

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Mais finalement, j’ai une affection particulière pour Leonhard Euler, parce que, chose que l’on sait assez peu, quand il a fondé la théorie des graphes, ce n’était pas comme on le dit toujours avec le problème des ponts de la ville Königsberg, mais avec un réseau qui reliait les notes de la gamme par intervalles de tierces et de quintes. C’était un problème de « mathémusique ». Et ce réseau qu’on appelle le Tonnetz a connu de remarquables développement en théorie musicale depuis un siècle.

Leonhard Euler

Leonhard Euler

Articles d’Emmanuel sur les canons rythmiques ici.

Le prochain livre d’Emmanuel :
Music Through Fourier Space -Discrete Fourier Transform in Music Theory Editions Springer

 

Faire des mathématiques: changer son regard sur le monde!

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