Les maths méditent: comprendre en mathématiques

Souvent, les élèves me disent : « je comprends mon cours, mais je suis bloqué dans les exercices ». Visiblement, comprendre pour moi et pour eux n’a pas la même signification.

Il y a plusieurs niveaux de compréhension. Je m’appuie ici sur mon expérience personnelle d’enseignante et de coach scolaire, auprès de jeunes ayant des blocages en maths, et également sur le livre Sciences et Méthodes  de Henri Poincaré, édité par Laurent Rollet (Editions Kimé), en particulier Livre II chapitre II sur la définition.

  • Pour certains, comprendre veut dire « connaître le sens des mots employés » et voir qu’il n’y a pas de contradiction. Par exemple « Montrer que la fonction est dérivable en 0 ». L’élève comprend la question (pour peu qu’il ait appris cette notion, en classe de première), mais il ne sait pas comment faire. (Il ne pense pas à utiliser la définition de la limite du taux d’accroissement, pour diverses raisons).
  • Pour d’autres, comprendre, c’est comprendre aussi pourquoi on présente les choses dans cet ordre et pas dans un autre, quel est le fil conducteur, comment les idées s’enchaînent. Si le fil est trop ténu, ou bien si l’attention est difficile à maintenir, ils vont décrocher. (Cette histoire de droite passant par deux points, un fixe, un qu’on fait bouger sur la courbe, et qui atteint une position limite…)
  • Pour une autre catégorie, comprendre, c’est savoir à quoi ça sert, dans la pratique, dans « la vie de tous les jours ». (A quoi ça va me servir de savoir dériver une fonction, une fois que j’aurais quitté le lycée, à part à avoir une bonne note au bac ?) Ils veulent avoir une image. Par exemple, quand on skie, les skis représentent la droite tangente à la courbe qui est la montagne.

Poincaré a cette belle phrase « Ceux-là souvent se font illusion à eux-mêmes : ils n’écoutent pas les raisonnements, ils regardent les figures. Ils s’imaginent avoir compris, ils n’ont fait que voir. »

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Les élèves souvent, se contentent de connaître une démonstration ou une définition ou une formule, c’est-à-dire pour eux, pouvoir la réciter par cœur. Mais ils ne savent pas s’en servir (d’où les blocages). Beaucoup de professeurs s’en contentent aussi. C’est déjà ça.

Mais comprendre une démonstration, pour pouvoir l’apprendre et s’en servir, (c’est-à-dire faire des exercices dans le cadre du cours de maths), c’est recréer la démonstration.

La créativité en mathématiques n’est pas réservée à une élite intellectuelle. Il ne s’agit pas forcément d’inventer de nouvelles choses, qui n’ont jamais été faites, mais de faire des nouvelles choses, pour soi. Un exercice « classique » pour un professeur, qu’il a déjà posé des centaines de fois, n’est classique que pour lui. Pour l’apprenti mathématicien, il est nouveau, et quand il le résout, il crée.

J’utiliserai ici la métaphore du piano : le projet de l’enseignement des mathématiques, est (ou devrait être) d’apprendre à improviser, ou au moins à interpréter en recréant le morceau, plutôt que de répéter mécaniquement un morceau par cœur. C’est important pour arriver à cette fluidité de l’improvisation, de répéter des exercices techniques, et d’avoir un répertoire étoffé de morceaux.

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Il est amusant de noter, qu’en 1904, Poincaré dit ceci : Les compositions écrites n’ont peut-être pas assez de place dans certains examens, à l’Ecole Polytechnique par exemple. On me dit qu’elles fermeraient la porte à de très bons élèves qui savent très bien leur cours, qui le comprennent très bien, et qui pourtant sont incapables d’en faire la moindre application. J’ai dit tout à l’heure que le mot comprendre a plusieurs sens : ceux-là ne comprennent que de la première manière, et nous venons de voir que cela ne suffit ni pour faire un ingénieur, ni pour faire un géomètre. Eh bien, puisqu’il faut faire un choix, j’aime mieux choisir ceux qui comprennent tout à fait.  (Science et Méthode, Livre II, chap II [138])

Depuis, les compositions écrites ont pris une importance considérable et pour ce qui concerne le recrutement de l’Ecole Polytechnique, il n’y a pas de souci à se faire.

Par contre, pour ce qui concerne les mathématiques au lycée, il y a du souci à se faire. Le moins qu’on puisse dire c’est que la créativité n’est pas mise en valeur. Ou plus exactement, on attend des élèves une certaine forme de créativité, mais sans leur expliquer comment on fait pour apprendre, pour comprendre, bref comment se servir de son intelligence.Créativité

Il y a d’autres façons d’enseigner les maths, ou de ne pas les enseigner justement, voir ici cet article surprenant.

Pour rester dans l’enseignement traditionnel, il serait peut-être opportun d’utiliser les outils de la gestion mentale, pour apprendre à apprendre.

J’ai entendu dire (plusieurs fois, mais je ne sais plus où) et je l’ai expérimenté d’ailleurs, que pour vraiment comprendre quelque chose, il faut l’enseigner. Cela donne une piste pour apprendre son cours. S’imaginer qu’on va avoir à l’enseigner. Se l’expliquer entre camarades de classe.

Il y a deux aspects dans l’apprentissage du cours : chaque élève, suivant ses préférences, privilégiera soit l’application, c’est-à-dire appliquer le cours, appliquer les formules de manière procédurale, soit la compréhension, c’est-à-dire comprendre l’idée générale, l’enchaînement des idées, sans forcément pouvoir faire les exercices. Il faut évidemment faire les deux.

Comme en musique, faire des gammes, des exercices techniques, et également comprendre la structure d’un morceau, connaître un répertoire étendu, afin de pouvoir improviser. Chaque exercice doit apporter quelque chose, se demander quoi.

 

Quelques conseils aux élèves pour travailler leur cours :

Conseil numéro 1 : se poser des questions ! Qu’est-ce que c’est (une suite, une fonction une fraction…), comment on va le définir dans un exercice, quelles questions on va me poser. Que faire si on me dit « montrer que…une suite est croissante », que faire si on me donne une information « la suite est croissante… ». Quels sont les outils que j’ai dans mon cours pour travailler avec ces objets ?…

Conseil numéro 2, sous forme de métaphore : le cours est la construction d’une boîte à outils. Les théorèmes, définitions, propriétés formules, elles sont là pour servir, et pas juste pour le contrôle du lendemain. Apprendre en parallèle du théorème, un exemple d’exercice où on s’en est servi. Faire des liens entre les différentes façons de rédiger une question et l’outil correspondant. Attention, donner la réponse à un exercice n’est pas suffisant (voire on s’en moque…) Ce qui compte, c’est de détailler les étapes du raisonnement.

Conseil numéro 3 : savoir ce qu’il y a dans sa boite à outils ! Par exemple, si les seules équations que l’on sait résoudre sont les équations du premier et du second degré, c’est qu’on doit pouvoir s’y ramener, si on nous donne une équation. (Inutile de chercher à résoudre exp(x)-x+3=0 par exemple).

Conseil numéro 4 : Associer chaque théorème, chaque définition aux situations dans lesquelles on va s’en servir, aux types de questions dans lesquelles ils vont être utiles. Observer les énoncés des exercices où on les utilise.

Faire des synthèses du cours, sous forme de fiches ou de cartes mentales. Un exemple de synthèse sous forme de carte mentale: Fonction logarithme